CentOSで/homeを/にマージする

背景

現在,CentOSで構築しているサーバに外付けのSSDを接続し,そちらを/homeにマウントしている.
しかし,CentOSの初期設定の際に/homeには論理ボリュームcentos-homeが割り当てられていた.
centos-homeはどこにもマウントされていないためcentos-rootにマージしたい.

解決策

以下に示している解決法は「とりあえずやったらできた」程度のものです.
下記手順を実行したことによって生じた損害等の一切の責任を負いかねますのでご了承ください. (マサカリ🪓は歓迎します)

手順

流れとしては以下のようになります.
1. 論理ボリュームの確認
2. 現在/homeに存在するファイルの退避
3. 論理ボリュームcentos-homeの削除
4. 論理ボリュームが削除されたことの確認
5. 空いている容量を全てcentos-rootに割り当てる
6. 割り当てられたことの確認
7. OSが認識しているか確認
8. xfsファイルシステムを拡大
9. 正常にマウントされていることの確認

コマンド

(以下は全てrootで作業しています.)

1: 論理ボリュームの確認

まず,dfコマンドを用いてファイルシステムのディスク容量を確認します.以下の出力は/以外は省略してあります.現在,50GB中の約49GBを使用していることがわかります.

$ df -h
Filesystem               Size  Used Avail Use% Mounted on
/dev/mapper/centos-root    50G   49G  1.6G   97% /

次にlvdisplayコマンドを用いて論理ボリュームの情報を表示します.ログを取るのを忘れており出力結果は表示していないのですが,rootとhomeの論理ボリュームが表示されてい(ました|る思います).

$ lvdisplay -C

2: 現在/homeに存在するファイルの退避

/homeに既にファイルがある場合は別の場所に退避させます.可能であれば他の物理ボリュームが良いと思います.*1 今回,/homeは空だったのでコマンドは省略しますが,圧縮して他の場所に置けば良いです.

3: 論理ボリュームcentos-homeの削除

ファイルを退避させたらlvremoveコマンドを用いて論理ボリュームを解放します.

$ lvremove /dev/mapper/centos-home

4: 論理ボリュームが削除されたことの確認

もう一度lvdisplayコマンドを用いて,削除されたことの確認を行います.

$ lvdisplay -C

5: 空いている容量を全てcentos-rootに割り当てる

lvextendコマンドを使い,空き容量を全て/に割り当てます.

$ lvextend -l +100%FREE /dev/mapper/centos-root

6: 割り当てられたことの確認

元々50GBでしたが,500GBになりました.(464.56GBとなっていますが,ファイルシステムが使用する容量があるためこのようになっていると推察されます)*2

$ lvdisplay -C
  LV   VG     Attr       LSize   Pool Origin Data%  Meta%  Move Log Cpy%Sync Convert
  root centos -wi-ao---- 464.56g

7: OSが認識しているか確認

ファイルシステムのディスク容量を確認します.

$ df -h 
Filesystem               Size  Used Avail Use% Mounted on
/dev/mapper/centos-root    50G   49G  1.6G   97% /

🤔 🤔 🤔

サイズが増えていません.
これはこの時点ではまだファイルシステムのリサイズは行なっていないためです.

8: xfsファイルシステムの拡大

今回使用しているファイルシステムがxfsなので,xfs_growfsコマンドを用いて変更を反映します.

$ xfs_growfs -d / 
meta-data=/dev/mapper/centos-root isize=512    agcount=38, agsize=3276800 blks
         =                       sectsz=512   attr=2, projid32bit=1
         =                       crc=1        finobt=0 spinodes=0
data     =                       bsize=4096   blocks=121782272, imaxpct=25
         =                       sunit=0      swidth=0 blks
naming   =version 2              bsize=4096   ascii-ci=0 ftype=1
log      =internal               bsize=4096   blocks=6400, version=2
         =                       sectsz=512   sunit=0 blks, lazy-count=1
realtime =none                   extsz=4096   blocks=0, rtextents=0
data blocks changed from 13107200 to 121782272        

9: 正常にマウントされていることの確認

もう一度dfコマンドを用いてファイルシステムのディスク容量を確認します.

$ df -h 
Filesystem               Size  Used Avail Use% Mounted on
/dev/mapper/centos-root  465G   49G  417G  11% /

正しく反映されました👍

参考

*1:最悪初期化することになるかもしれないので

*2:https://hesonogoma.com/linux/comparativetableoffilesystem.html

"ゼロからグレブナー基底入門"にいってきた

はじめに

突然ですがグレブナー基底をご存知ですか?
2017年冬,私は「妹がグレブナー基底に持ち始めたのだが。」*1というカクヨムの小説で出会いました.

"グレブナー基底"初めて聞いた(見た)その単語は刺激的で,ポン酢が似合いそうだなと思いました.嘘ですごめんなさい

ちなみに,上記小説は普段小説を避けている私が一気に最後まで読み進めてしまうくらい面白く,また高度な知識を必要としないため中高生でも読める内容になっています.

先日,上記小説の著者であるグレブナー基底大好きbot(@groebner_basis)さんが講師として務められるgroebner-basis.peatix.com このようなイベントが開催されることを知り,学生枠が空いていたので参加してきました.

勉強会

グレブナー基底の定義

 K: 体.多項式環 K[x_1, ..., x_n]のイデアル Iに対して,有限部分集合 G \subset Iの先頭項から生成されるイデアルが, Iの先頭項から生成されるイデアルに一致しているとき, G Iグレブナー基底と呼ぶ.すなわち,

一応独学で代数を勉強していますが,イデアルって何だっけ...? \mathrm{LT}ってなんだ??といったように自分で読み解くには時間がかかりそうでした.
一旦定義はおいておいて...

ここで,グレブナー基底の歴史やグレブナー基底の応用についてのお話がありました.
個人的には暗号理論への応用が気になりました.

次に, \mathrm{LT} (Leading Term, 先頭項)の説明,多変数多項式の割り算についての解説を受けました.

そして,もう一度定義に戻ってみると...?




_人人人人人人人人人人人人人_

> 読める!読めるぞ!!! <

 ̄Y^Y^Y^Y^Y^Y^Y^Y^Y^Y^Y^ ̄


最初に見たときに比べ,主張は理解できるようになってました.

講義の最後では,グレブナー基底を求めるブッフベルガーアルゴリズムの解説がありました.
計算量が多いとは聞いていましたが,  O(2^{2^{N}}) と聞いたときは笑ってしまいました. でも,実際に計算を行う分にはそこまでヤバくないらしい...?です.

演習

今回,2時間の講義と別に3時間の演習時間が設けられており,オンラインの計算ソフトWolfram|Alphaを使いながら演習問題を行いました.
演習問題では小説中に登場した嘘つきの問題を始め四色問題等が取り上げられ,それぞれ例題・基礎・発展があり十分なボリュームが有りました.
久しぶりに自分の手を動かして計算を行い,なんだかワクワクしました.

さいごに

勉強会では講義中に自由に質問できる機会を提供していただけたのは非常に良かったなと思います. 私もたくさん質問し,回答していただきました.
また,自分が気付かなかったことや認識が正確ではない部分に関して他の方が質問に対する回答を聞くことで理解することがありました.自分が疑問に思ったことは他の人も同様に悩んでいるかもしれないので,質問することは大事ですね.

正直私は数学科でもなければ特別数学が得意なわけでもないタダの数学が好きな人なので,数学の勉強会に参加するのは躊躇していました.
しかし,今回のイベントは"プログラマのための数学勉強会"さん主催で,前提知識が中高の数学だったので参加を決めました. 結果として,講義はめちゃくちゃ楽しくて学ぶことが多かったです.

これを期に,もう少し幅を広げて他分野の勉強会にも積極的に参加できたらなと思います.

紹介

今回の勉強会の講師を務められたグレブナー基底大好きbot(@groebner_basis)さんが執筆している書籍「妹がグレブナー基底に持ち始めたのだが。」の1巻と2巻は書泉さんで取り扱っています.*2 また,Amazon Kindle電子書籍が販売されています.(Kindle Unlimitedの方はなんと無料で読めます!)

togetter

今回,勉強会を主催されたさのたけと(@taketo1024)さんがまとめてくださいました. togetter.com

数式・数学記号の英語表記・読みまとめ

はじめに

数学の勉強をしているときに,ふと「この数式英語でどう読むんだろう?」と思い調べた.
ただし,私は数学畑の人間ではく,英語に明るいわけでもないため以下に記す内容に誤りがあると思う.自己責任で使ってほしい.
分類の誤りやスペルミス等誤りを見つけた際は些細なことでも指摘していただけるとうれしい.
なお,順番に関しては特に考慮していない.

目次

  1. 一般
    1.1 基本的な用語
    1.2 数
    1.2.1 小数 1.2.2 分数
    1.2.3 N進法
    1.3 文字
    1.4 記号 1.4.1 等号・不等号
    1.4.2 その他記号
    1.5 四則演算
  2. 記号論
  3. 集合論
  4. 代数学
  5. 解析学
  6. 幾何学
  7. 確率・統計学
  8. 単位
  9. 参考サイト

1. 一般

この節では基礎的な数学用語や数,文字の表現について述べる.

1.1 基本的な用語

用語 英語表記
数学 mathematics
算数 arithmatic
問題 problem
公式 formula
数式 mathematical expression
単項式 monomial
多項式 polynomial
方程式 equation
恒等式 identity
solution
計算 calculation
計算機 calculator
符号 sign
term
右辺 right-hand side
左辺 left-hand side
演算 operation
演算子 operator
関数 function
記法 notation
有限 finite
無限 infinite
法則 law
命題 proposition
公理 axiom
公理系 axiomatic system
定義 difinition
定理 theorem
補題 lemma
補助定理 helping theorem
corollary
結論 conclusion
予想 conjecture
example
反例 counter-example
背理法 reductio ad absurdum
代入 substitution
変換 transformation
仮定 assumption
証明 proof
証明終了 Q.E.D. (quod erat demonstrundum)
分析 analysis
代入する substitute
変換する transform
仮定する assume
証明する prove
分析する analyze

1.2 数

この項では特に数の表現について述べる.
まず,数に関する用語の英語との対応を以下に示す.

用語 英語表記
zero
無限大*1 infinity
number
数字(アラビア数字) digits
数字(数や量) figures
変数 variable
定数 constant
係数 coefficient
正数 positive number, plus number
負数 negative number, minus number
偶数 even number
奇数 odd number
素数 prime number
逆数 reciprocal number
因数 factor
素因数 prime factor
倍数 multiple
約数 divisor
公倍数 common multiple
公約数 common divisor
最小公倍数 least common multiple, L.C.M
最大公約数 greatest common divisor, G.C.D
絶対値 absolute value
総和 summation
比率・割合 ratio
基数 cardinal number
序数 ordinal number
自然数 natual numbers, counting numbers
整数 integer (numbers), whole number
有理数 rational number
無理数 irrational number
実数 real number
実部 real part
虚数 imaginary number
虚部 imaginary part
複素数 complex number
連続する数 consucutive numbers
連続する整数 consucutive integers
完全数 perfect number

式中の負の数を読み上げる際は,"negative 数字(文字)"と読む.*2*3
例えば, -3は"negative three"と読み, -xは"negative x"と読む.

1.2.1 小数

小数は英語でdecimalと呼び,小数点のことはdecimal pointと呼ぶ.
小数を英語で読む際は"整数部分 point 小数点以下"と読む.ここで,小数点以下は日本語と同様に1桁ずつ読み上げる. *4

例えば1.23という数は,英語で"one point two three"と読む.

ちなみに,循環小数のことを英語でrecurring (repeating) decimalと呼び,循環節を読んだ後に"recurring"をつける.

1.2.2 分数

分数は英語でfractionと呼び,分母のことはdenominator分子のことはnumeratorと呼ぶ.

分数を英語で読む際は複雑で,場合によって読み方が異なる.
基本的には,"分子の基数 分母の序数"と読む.または,"分子の基数 over 分母の基数"と読む*5
ここで,日本語では分母→分子の順で読むのに対し,英語では分子→分母の順で読むことに注意しなければならない.

言葉で説明しても分かりづらいのでいくつか例を示す.

  •  \frac{17}{31}
    "seventeen over thirty-one"

  •  \frac{1}{5}
    "one fifth (a fifth)"
    分子が1のときはoneでもaでもよい

  •  \frac{5}{7}
    "five sevenths"
    分子が2以上の場合は分母の序数を複数形にする

  •  \frac{1}{2}
    "one half (a half)"
    分母が2のときは"half"を用いる

  •  \frac{3}{4}
    "three quaters"
    分母が4のときは"quater"を用いる

  •  \frac{x}{y}
    "x over y"
    文字のときは"over"を用いる

  •  3\frac{1}{5}
    "three and one fifth (a fifth)"
    帯分数の場合は" and"を用いる

1.2.3 N進法

情報系を専攻しているため,2進表記などN進法の表現についても述べておく.

まず,位取り記数法のことを英語でpositional notationと呼ぶ.
また,N進法のことを英語でthe base-n systemと呼ぶ.
ここで,基数Nのことをbase Nやradixという.

特に10進法のことをthe decimal systemと呼び,10進数のことをdecimal numbersと呼ぶ.
同様に,2進法のことをthe binary systemと呼び,2進数のことをbinary numbersと呼ぶ.

以下に,2以上の特定の基数に対する倍数接頭辞の英語表記を示す.

基数N 倍数接頭辞の英語表記
2 binary
3 ternary
4 quaternary
5 quinary
6 senary
7 septenary
8 octal
10 decimal
12 duodecimal
16 hexadecimal
20 vegesimal
60 sexagesimal

1.3 文字

この項では特に添字付き文字の読みとギリシャ文字のアルファベット表記について示す.

まず,添字には下付き文字上付き文字があり,それぞれsubscriptsuperscriptと呼ぶ.
複数例を示す.*6

  •  a_1
    "a one", "a subscript one", "a sub one"*7

  •  x_n
    "x sub n"

  •  A_{xy}
    "A sub xy"

次に,ギリシャ文字のアルファベット表記を示す.

ギリシャ文字 アルファベット表記
 \alpha, A alpha
 \beta, B beta
 \gamma, \Gamma gamma
 \delta, \Delta delta
 \epsilon, E epsilon
 \zeta, Z zeta
 \eta, H eta
 \theta, \Theta theta
 \iota, I iota
 \kappa, K kappa
 \lambda, \Lambda lambda
 \mu, M mu
 \nu, N nu
 \xi, \Xi xi
 o, O o
 \pi, \Pi pi
 \rho, P rho
 \sigma, \Sigma sigma
 \tau, T tau
 \upsilon, \Upsilon upsilon
 \phi, \Phi phi
 \chi, X chi
 \psi, \Psi psi
 \omega, \Omega omega

1.4 記号

1.4.1 等号・不等号

等式を英語でequalityと呼び,不等式inequalityと呼ぶ.
また,"等号"をequal signと呼ぶ.

  •  x = y
    "x equals y"
    "x is equal to y"

  •  x \neq y
    "x is not y"
    "x doesn't equal y"

  •  x \simeq y
    "x is approximately equal y"

  •  x \gt y
    "x is greater than y"

  •  x \lt y
    "x is less than y"

  •  x \geq y
    "x is greater or equal to y"

  •  x \leq y
    "x is less or equal to y"

  •  x \equiv b
    "x is identical with y"

1.4.2 その他記号

まず,計算の優先順位を表すための括弧について述べる.
一般に,数学で用いられる括弧には小括弧  (,)中括弧  \{, \}大括弧  [, ]の3種類があり,それぞれ英語で,parenthesesbracesbracketsと呼ぶ.

数式を読む際は,始まりの括弧(open parentheses)を"parentheses"と読み,終わりの括弧を"close parentheses"と読む.もしくは,括弧の中を読んだ後"in parentheses"と付け加えても良い.
また,括弧の前後に間を開けて読むことで,括弧を読むことを省略することがある.
しかし,これでは間違いが起きてしまうため,次のように読む場合もある.

  •   (x + y)z
    "x plus y, all multiplied by z"
    "The sum of x and b multiplied by z"

次に,区間を表す括弧について述べる.
(実)区間は英語で(real) intervalと呼ぶ.また,区間 [a, b]端点 a, bendpointsと呼ぶ.

  •  [a, b]
    "closed interval a, b"
    "closed interval from a to b"

  •  [a, b)
    "right-open interval a, b"
    "right-open interval from a to b"

  •  (a, b]
    "left-open interval a, b"
    "left-open interval from a to b"

  •  (a, b)
    "open interval a, b"
    "open interval from a to b"

1.5 四則演算

長々と書き連ねてきたが,ここでようやく四則演算について述べる.
四則演算は英語でthe four (basic) (arithmetic) operationsと呼び,足し算引き算掛け算割り算のことをそれぞれadditionsubstractionmultiplicationdivisionと呼ぶ.
また,余りのことはそれぞれsumdifferenceproductquotientreminderと呼ぶ.

  •  x + y
    "x plus y"

  •  x - y
    "x minus y"

  •  x \times y
    "x times y"
    "x multiplied by y"

  •  x \div y
    "x divided by y"

  •  x \div y  = z \cdots w
    "x divided by y equals z, with w left over"
    "x divided by y equals z, with a reminder of w"

  •  \frac{x - y}{z}
    "x minus y all over z"

2. 記号論

この節では,記号論理で用いられる記号の表記や式の読みについて述べる.

記号例 用語 英語表記 英文例
定義 difinition
対偶 contraposition
converse
恒真式 toutology
 A := B 定義する define A is defined as B
 \therefore ゆえに therefore, thus, thereby, hence A is B; therefore, B is C.
 \because なぜなら because, since, because of, be due to
 \lnot A 否定 negation
 A \land B 論理積 (logical) conjection
 A \land B 論理和 (logical) disjunction
 A \Rightarrow B 論理包含, 含意 implication A implies B
 A \Leftrightarrow B 同値 equivalence A is equivalent to B
 i.e. すなわち that is
 s.t. となるような,を満たす such that
 \forall x f(x) 任意,全て for all for all x such that f(x)
 \exists x f(x) ある,存在する exist existence x such that f(x)

表記例

  •  \forall \epsilon \gt 0, \exists \delta \gt 0 \ \ s.t. \  \forall x \in R, 0 \lt |x - a| \lt \delta \Rightarrow |f(x) - b| \lt \epsilon

3. 🚧集合論⛏️

この節では,集合論で用いられる用語,記号の表記について述べる. |用語|英語表記| |:----|:----------| |公理的集合論|axiomatic set theory| |集合|set| |元|element| |空集合|empty set| |共通集合|intersection of sets| |和集合|union of sets| |補集合|complementary sets| |差集合|difference set| |冪集合|power set| |部分集合|subset| |有限集合|finite set| |無限集合|infinite set| |可算集合|coutable set| |非可算集合|uncoutable set| |直積集合|product set| |集合族|family of sets| |写像|mapping| |定義域|domain| |値域|range| |像|image| |単射|injective mapping, one-to-one mapping| |全射|surjective mapping| |全単射|bijection, one-to-one correspondence| |逆写像|inverse mapping| |合成写像|composite mapping| |濃度|cardinality| |ベン図|Venn diagram| |高々可算|at most countable|

4. 🚧代数学⛏️

この節では,代数学で用いられる用語,記号の表記について述べる.

用語 英語表記
代数 algebra
group
ring
field

5. 🚧解析学⛏️

この節では,解析学で用いられる記号の表記について述べる.

用語 英語表記
極限 limit
収束する converge
発散する diverge
振動する oscillate
連続関数 continuous function
微分 differential
微分する differentiate
導関数 derivative
微分演算 differentiation
微分演算子 differential operator
微分可能 differentiable
微分方程式 differential equation
積分 integral
積分する integrate
積分可能 integrable
積分 definite integral
不定積分 indefinite integral
任意定数 arbitracy constant
測度 measure

6. 🚧幾何学⛏️

この節では,幾何学で用いられる記号の表記について述べる.

7. 🚧確率・統計学⛏️

この節では,確率・統計学で用いられる記号の表記について述べる.

8. 🚧単位⛏️

この節では,単位の表記・読みついて述べる.

参考サイト

http://enep.ence.kyushu-u.ac.jp/pdf/rikigaku/english_math.pdf
http://www.cam.hi-ho.ne.jp/nakano-ec/toeic/vocabulary/math.html
https://ci.nii.ac.jp/els/contentscinii_20190205203217.pdf?id=ART0000375340
http://www.comp.tmu.ac.jp/yosihiro/teaching/how-to-read.pdf
数学で使う英語
数学基礎用語集(和英編)
英語による数式の読み方①(加減乗除・小数・分数・括弧)
Mathematics - Wikipedia
Positional notation - Wikipedia
List of mathematical symbols - Wikipedia
Uniqueness quantification - Wikipedia
Mathematical constant - Wikipedia
Names for the number 0 in English - Wikipedia

さいごに

 \TeXの記法は割と英文そのままだと思った.

*1:正確には数ではないが

*2: (わざわざ言う必要はないが)正の数を読み上げる際は"positive 数字(文字)"や"plus 数字(文字)"と読む

*3:"minus 数字(文字)"と読んでも通じるが,正確ではない

*4:0はzero以外にohと呼ぶことがある

*5:桁数の多い数字の場合はこちらを用いる

*6:上付き文字の読みについては後節を参照

*7:subは読んでも読まなくても構わないが,添字を強調する際に読む

SSHでProxyCommandを使って多段ログインする

背景

次の図(?)ように,サーバA(踏み台サーバ)が外部ネットワークに公開されており,サーバB, C, ...(内部サーバ)には外部からアクセスできないようになっている環境はよくあります.

家 ----- インターネット ----- サーバA ----- サーバB
                                      +-- サーバC
                                      +-- etc...

このような環境で,外部から内部サーバにSSHでアクセスする方法として多段ログインがあります. 多段ログインとは,まず公開されている踏み台サーバにSSHで接続し,踏み台サーバから目的のサーバにSSHで接続することです.

しかし,毎回二度もSSHコマンドを叩くのは面倒なので一回コマンドを叩くだけで目的のサーバにアクセスできるようにします.

解決法

解決法には複数あり,ここではProxyCommandを使用した解決法を書きます.
ProxyCommandとはサーバへの接続に使用するコマンドを指定する機能です.(詳しくは$ man ssh_configに書いてあります)

とりあえず試す

まずはコマンドのみで試してます.
以下のように,SSHコマンドに-oオプションを付けてProxyCommandを指定します.

$ ssh -o ProxyCommand='ssh -p サーバーAのポート番号 -W %h:%p serverA' serverB

ここで,ProxyCommand内のSSHコマンドに渡している-Wというオプションはホスト名とポート番号を指定するオプションです.
また,ProxyCommandに指定した文字列の%h%pは接続先のホスト名に置換されます.
このコマンドを実行するとserverBに接続することができます.(鍵を指定していないためパスワードを聞かれると思います)

設定ファイルの編集

実際に接続できることを確認できました.
毎回長いコマンドを入力するのは面倒なので~/.ssh/configに設定を行います.

Host serverA
    HostName サーバAのIP(ホスト名)
    User サーバAのユーザー名
    Port サーバAのポート番号
    IdentityFile サーバAへの接続に使う鍵
Host serverB
    HostName サーバBのIP(ホスト名)
    User サーバBのユーザー名
    Port サーバBのポート番号
    IdentityFile サーバBへの接続に使う鍵
    ProxyCommand ssh -W %h:%p serverA

SSHコマンドを使ってアクセスしてみます.

$ ssh serverB

今度は鍵を指定しているためパスワードを入力することなくserverBに接続することができます.
これを応用すると,2段だけでなく3段階ログインといったことも可能です.

SSHでサーバに繋いで"perl: warning: Setting locale failed."が出てきたときの対処法

背景

普段macを使用していますが,先日WindowsBash on Ubuntu on Windowsからサーバにsshすることがありました.
その際,以下のような警告が出てきたので対処法を書きます.

perl: warning: Setting locale failed.
perl: warning: Please check that your locale settings:
        LANGUAGE = (unset),
        LC_ALL = (unset),
        LANG = "C.UTF-8"
    are supported and installed on your system.
perl: warning: Falling back to the standard locale ("C").

原因

ローカル(Windows)のlocale情報がSSHで送られていた.

SSHにはSendEnvという環境変数を接続先サーバに送信する機能があります.
また,SSHには接続先別の設定を記述する~/.ssh/configと,デフォルト(共通)の設定を記述する/etc/ssh/ssh_configがあります.
今回locale情報が送られてしまったのは後者の設定ファイルにSendEnv LANG LC_*が設定されていた為です.

解決法

/etc/ssh/ssh_configを管理者権限で開き,SendEnv LANG LC_*の部分をコメントアウトすれば解決します.

-    SendEnv LANG LC_*
+#   SendEnv LANG LC_*

位相空間論 #1 - 開集合と閉集合

位相空間論(general topology)について自分が理解してる範囲でまとめます.誤りを見つけた際は,コメントかDMで教えて頂けると嬉しいです.
今回は開集合と閉集合の公理について書きます.

位相空間

数学における位相空間論(いそうくうかんろん、英: general topology; 一般位相幾何学)または点集合トポロジー(てんしゅうごうトポロジー、point-set topology; 点集合論的位相幾何)は、位相空間の性質やその上に定義される構造を研究対象とする位相幾何学の一分野である。 - Wikipedia

位相空間は,集合に対して「位相(トポロジー)」という構造を導入したものです.
位相とは便利なもので,これにより,点の近傍や点列の収束,写像の連続性,今回書く開集合や閉集合の概念を定義することができます.

定義

開集合を定義する前に,まず内点というものを定義します.
ここでは外点や境界点に関しての説明は行いません.

内点

点集合 \boldsymbol{S}に属する一つの点pに十分近い点がすべて \boldsymbol{S}に属するとき,pを \boldsymbol{S}内点という.

一言で言うと,点 pにとても近い点はSに属するというものです.
数式で述べると次のようになります.

部分集合 {\boldsymbol{S} \subset \mathbb{R}^m}と点 {p \in \boldsymbol{S}}を考える.  {\exists \epsilon \in \mathbb{R} \gt 0 \ \left\{ x \in \mathbb{R}^m | d(x, p) \lt \epsilon \right\} \subseteq \boldsymbol{S}} ならば p \boldsymbol{S}の内点である.( d \mathbb{R}^mの距離関数)

例えば {a \lt b \lt c}となるような実数{ a,b,c \in \mathbb{R}}に対して,閉区間 { \left[ a, c \right] }を考えると, bは内点になります.これは,開区間 { (a, c) }を考えると, { b \in (a, c) \subset  \left[ a, c \right] }となるためです.

開集合

集合 \boldsymbol{S}の各点が内点であるとき, \boldsymbol{S}開集合という.

開集合は境界を含みません.
開集合の例として次のようなものがあります.

閉集合

閉集合は開集合の補集合である.

ここで,注意しなければならないことは,開集合でも閉集合でもない集合があるということです.
詳細は省きますが,例えば半開区間は開集合にも閉集合にも属しません.

閉集合は境界を含みます.
閉集合の例として次のようなものがあります.

開集合の公理

  1. 空集合 \phiと全体集合 \mathbb{R}は開集合である
  2. 開集合に属する集合の任意の和集合は開集合である
  3. 開集合に属する集合の有限個の共通部分集合は開集合である*1

閉集合の公理*2

  1. 空集合 \phiと全体集合 \mathbb{R}閉集合である
  2. 閉集合に属する集合の有限個の和集合は閉集合である
  3. 閉集合に属する集合の任意個の共通部分集合は閉集合である

さいごに

今回は,開集合と閉集合について書きました.
英語ではそれぞれ,open setとclosed setといいます.そのままですね.

次に書く記事の内容はまだ決めていません.(というか元々位相のお話する予定なかったので全然まとめてませんでした)

とかとか分かりづらい...

参考書籍

定本 解析概論

定本 解析概論

*1:有限個ではない場合,共通部分集合が開集合に属すとは限りません.例えば,次の共通部分集合 {\bigcap_{x=1}^{\infty}{(-\frac{1}{x}, \frac{1}{x})}}を考えると,0のみを含む一元集合となってしまいますが,一元集合は開集合ではありません.

*2:閉集合は開集合の補集合であるため,ド・モルガンの法則によって開集合の公理から導出できます.

2018-kosen13s-adventcalendar-#23

こんにちは,NotFoundsです.

遅ればせながら,あけましておめでとうございます.
昨年度,Kosen13s Advent Calendarを書くと言って,まだ書いてなかったのでそろそろ書きます.(罪悪感が湧いてきたので)

何書くか決めずに記事を書き始めたのですが,大学に編入してから1年弱たったので振り返ってみます.

春ABC

筑波大学では一年間を春・秋と2つに分け,さらにそれぞれをA・B・Cと5週ずつの3つに分け(春|秋)(A|B|C)モジュールと呼びます.
ここでは,春ABCつまり4月から8月までを振り返りたいと思います.

と言っても特に面白いことはなく,入学したら単位変換して,サークル見学行って,普通に講義受けて,たまに自転車で出かけるみたいなことをしていたら終わりました.

詳しくはこの辺に書いてあります.

notfounds.hatenablog.com

あ,春Cにアウトプットをするという目標を立てました.(アウトプット以外の活動も含まれているけど)
結果は,達成率6割程度でした.
内訳として,本を読んだり,課題をするといったことが殆どで,草🌱生やしたりブログ書いたりはできませんでした.
本を読むようになったのは良かったなと思います.

夏期休業

8月の中旬から9月末までは夏季休業です.
前半は帰省し,久しぶりの地元でのんびり過ごして,後半の9月は2週間ずつインターンに行かせていただきました.
また,帰省・インターン中に育てていたミントが枯れてしまいました.😭😭😭

notfounds.hatenablog.com

インターンでは,扱ったことない技術や普段見ることができないシステムの裏側を見ることができ,新鮮で非常に良い経験となりました.

秋AB

時系列に箇条書します(めんどくさくなった

・バレーの合宿 楽しかった,膝痛めた ・雙峰祭(学祭) お酒飲んだ,レポート ・配属 ・課題,レポート,課題,レポート ・就活 ・テスト ・就活 ・帰省

ざっとこんな感じでした.

現在

秋Cモジュールです.授業は週に3日7コマしかありません.
あと,希望の研究室(自然言語処理)に配属が決まり,来週からゼミ(?)っぽい活動が始まります.楽しみ😃

秋ABのところにチラッと書いていますが,現在就活をしています.
もともと,大学に進学を決めたとき,入学時点では院進することしか考えていなかったのですが,周りの友人や先輩の影響であったり,インターンシップ,自分のやりたいこと等を考えたときに「自分は研究するより,社会に出てコード書いている方が幸せなのかもしれない」と考え,就職も視野に入れています.(院進を完全に辞めたわけではないです.2019/1/10現在)

まだ,もう少しだけ時間があるので,研究室のゼミに参加したり就活を進めたりしながら,就職するか進学するかじっくり考えてみたいと思います.

さいごに

だらだらと薄っぺらい記事を書きましたが,現在の部分を書きたかっただけです.

P.S. 最近数学したい欲があり,現在は集合.測度をしています.そのうち,代数とか整数論したいです.