位相空間論 #1 - 開集合と閉集合
位相空間論(general topology)について自分が理解してる範囲でまとめます.誤りを見つけた際は,コメントかDMで教えて頂けると嬉しいです.
今回は開集合と閉集合の公理について書きます.
位相空間論
数学における位相空間論(いそうくうかんろん、英: general topology; 一般位相幾何学)または点集合トポロジー(てんしゅうごうトポロジー、point-set topology; 点集合論的位相幾何)は、位相空間の性質やその上に定義される構造を研究対象とする位相幾何学の一分野である。 - Wikipedia
位相空間は,集合に対して「位相(トポロジー)」という構造を導入したものです.
位相とは便利なもので,これにより,点の近傍や点列の収束,写像の連続性,今回書く開集合や閉集合の概念を定義することができます.
定義
開集合を定義する前に,まず内点というものを定義します.
ここでは外点や境界点に関しての説明は行いません.
内点
一言で言うと,点にとても近い点はSに属するというものです.
数式で述べると次のようになります.
例えばとなるような実数に対して,閉区間を考えると,は内点になります.これは,開区間を考えると,となるためです.
開集合
開集合は境界を含みません.
開集合の例として次のようなものがあります.
閉集合
ここで,注意しなければならないことは,開集合でも閉集合でもない集合があるということです.
詳細は省きますが,例えば半開区間は開集合にも閉集合にも属しません.
閉集合は境界を含みます.
閉集合の例として次のようなものがあります.
開集合の公理
閉集合の公理*2
さいごに
今回は,開集合と閉集合について書きました.
英語ではそれぞれ,open setとclosed setといいます.そのままですね.
次に書く記事の内容はまだ決めていません.(というか元々位相のお話する予定なかったので全然まとめてませんでした)
開とか閉とか分かりづらい...
参考書籍
- 作者: 高木貞治
- 出版社/メーカー: 岩波書店
- 発売日: 2010/09/16
- メディア: 単行本(ソフトカバー)
- 購入: 1人 クリック: 49回
- この商品を含むブログ (14件) を見る
「集合と位相」をなぜ学ぶのか ― 数学の基礎として根づくまでの歴史
- 作者: 藤田博司
- 出版社/メーカー: 技術評論社
- 発売日: 2018/03/06
- メディア: 単行本(ソフトカバー)
- この商品を含むブログ (3件) を見る